如果一个向量函数和它的导数恒不为0,且他们的乘积恒为0,如何证明这个向量函数模长是常数
题目
如果一个向量函数和它的导数恒不为0,且他们的乘积恒为0,如何证明这个向量函数模长是常数
答案
我用a*b来表示a、b的内积
假设向量r及其导数r'不为零
注意到
(|r|^2)'=2r*r'
由已知r*r'=0,则(|r|^2)'=0
因此
|r|^2是常数
故|r|也是常数
事实上,这个命题的逆命题也成立.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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