关于泰勒公式求极限的适用条件.

题目

关于泰勒公式求极限的适用条件.
有时候遇到的极限,想不到要用泰勒公式展开.需要用泰勒公式展开的极限有什么特征呢?有一道例题,我贴图片吧.这道题我也不清楚错在哪里.




如果能给我解释清楚将非常感谢!

答案

第一步分拆就是错误的,你把 0/0 型化成了 ∞-∞.
其关键在第二个等号后的极限：
lim(x->0) ax^2/bx^4 = lim(x->0) a/bx^2 = ∞
正确处理是从头就用 Taylor 公式,显然题目是要展到4阶无穷小的：
= lim(x->0) [1+(-x^2/2)+(-x^2/2)^2/2+o(x^4)] -1 +x/2*[x-x^3/3!+o(x^3)] /[x^4/6]
=lim(x->0) [(-x^2/2)+x^4/8+o(x^4)]+[x^2/2-x^4/12+o(x^4)] /[x^4/6]
=lim(x->0) [x^4/8+o(x^4)]+[-x^4/12+o(x^4)] /[x^4/6]
= 1/4