正三角形的一个顶点位于抛物线y^2=2px的焦点,另外两顶点在抛物线上,求这个三角形的边长.

题目

正三角形的一个顶点位于抛物线y^2=2px的焦点,另外两顶点在抛物线上,求这个三角形的边长.

答案

抛物线y^2=2px 焦点为F(p/2,0)
设正三角形边长为a,则其高为h=√3/2*a
由正三角形对称性可知,其过焦点的高在x轴上,且其对应底边与x轴垂直,则边长为此边与抛物线两交点的距离
∴底边与x轴的交点为(p/2-√3/2*a,0)
代入抛物线方程得,y^2=2p(p/2-√3/2*a),即y^2-2p(p/2-√3/2*a)=0
对此方程,y1+y2=0,y1y2=-2p(p/2-√3/2*a)
∴a=|y1-y2|=√[(y1+y2)^2-4y1y2]=√[4*2p(p/2-√3/2*a)]
∴a^2=8p(p/2-√3/2*a)
解得a=(4-2√3)p (负根舍弃)
∴ 正三角形边长为(4-2√3)p