如图:BE⊥AC,CF⊥AB,BM=AC,CN=AB.求证:(1)AM=AN;(2)AM⊥AN.

如图:BE⊥AC,CF⊥AB,BM=AC,CN=AB.求证:(1)AM=AN;(2)AM⊥AN.

题目
如图:BE⊥AC,CF⊥AB,BM=AC,CN=AB.求证:(1)AM=AN;(2)AM⊥AN.
答案
证明:(1)∵BE⊥AC,CF⊥AB,
∴∠1+∠BMF=90°,∠2+∠CME=90°,
∵∠BMF=∠CME(对顶角相等),
∴∠1=∠2,
在△ABM和△NCA中,
BM=AC
∠1=∠2
CN=AB

∴△ABM≌△NCA(SAS),
∴AM=AN;
(2)根据(1)可得△ABM≌△NCA,
∴∠3=∠N,
∵CF⊥AB,
∴∠4+∠N=90°,
∴∠3+∠4=90°,
即∠MAN=90°,
因此,AM⊥AN.
(1)根据直角三角形两锐角互余可得∠1=∠2,然后利用“边角边”证明△ABM和△NCA全等,根据全等三角形对应边相等即可证明;
(2)根据全等三角形对应角相等可得∠3=∠N,再根据CF⊥AB可得∠4+∠N=90°,所以∠3+∠4=90°,即∠MAN=90°,从而得证.

全等三角形的判定与性质.

本题考查了全等三角形的判定与性质,已知两组对应边相等,想法证明这两边的夹角相等是解题的关键,思路比较清晰.

举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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