如图，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，D为△ABC内一点，∠BAD=15°，AD=AC，CE⊥AD于E，且CE=5． （1）求BC的长；（2）求证：BD=CD．

题目

如图，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，D为△ABC内一点，∠BAD=15°，AD=AC，CE⊥AD于E，且CE=5．

（1）求BC的长；
（2）求证：BD=CD．

答案

（1） 在△ABC中，
∵AC=BC，∠ACB=90°，
∴∠BAC=45°，
∵∠BAD=15°，
∴∠CAD=30°，
∵CE⊥AD，CE=5，
∴AC=10，
∴BC=10；
（2）证明：过D作DF⊥BC于F
在△ADC中，∠CAD=30°，AD=AC，
∴∠ACD=75°，
∵∠ACB=90°，
∴∠FCD=15°，
在△ACE中，∠CAE=30°，CE⊥AD，
∴∠ACE=60°，
∴∠ECD=∠ACD-∠ACE=15°，
∴∠ECD=∠FCD，
∴DF=DE．
∵在Rt△DCE与Rt△DCF中，

DC=DC DE=DF.

，
∴Rt△DCE≌Rt△DCF（HL），
∴CF=CE=5，
∵BC=10，
∴BF=BC-CF=5，
∴BF=FC，
∵DF⊥BC，
∴BD=CD．

（1）求出∠BAC，求出∠CAD=30°，求出AC=2CE=10，即可求出BC；
（2）过D作DF⊥BC于F，求出∠ECD=∠DCF=15°，证CE=CF=5，推出BF=CF，根据线段垂直平分线的性质求出即可．

本题考点：全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质．

考点点评：本题考查了三角形的内角和定理，全等三角形的性质和判定，含30度角的直角三角形性质，线段垂直平分线性质等知识点的应用．