设存在复数z同时满足下列条件: (1)复数z在复平面内对应的点位于第二象限; (2)z•z+2iz=8+ai(a∈R),求a的取值范围.
题目
设存在复数z同时满足下列条件:
(1)复数z在复平面内对应的点位于第二象限;
(2)z•
+2iz=8+ai(a∈R),求a的取值范围.
答案
由(1)可设z=m+ni(m<0,n>0),
则由(2)得,|z|
2+2i(m+ni)=8+ai,
即m
2+n
2-2n+2mi=8+ai,
∴
,
由①得:m
2+(n-1)
2=9,
∴复数z对应的点Z为圆m
2+(n-1)
2=9在第二象限的部分,
∴-3≤m<0.
则-6≤2m<0.
即a∈(-6,0].
由条件设出复数z=m+ni(m<0,n>0),代入(2)中的等式,由复数相等的条件得到复数z的轨迹及a与m的关系,由轨迹得到m的范围,再由a与m的关系求得a的范围.
复数代数形式的混合运算.
本题考查了复数代数形式的混合运算,考查了复数相等的条件,体现了数学转化思想方法,是中低档题.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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