已知函数f(x)=1+2sin(2ωx+π6)(其中0<ω<1),若直线x=π3是函数f(x)图象的一条对称轴. (1)求ω及最小正周期; (2)求函数f(x),x∈[-π,π]的单调减区间.
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已知函数f(x)=1+2sin(2ωx+π6)(其中0<ω<1),若直线x=π3是函数f(x)图象的一条对称轴. (1)求ω及最小正周期; (2)求函数f(x),x∈[-π,π]的单调减区间.
题目
已知函数
f(x)=1+2sin(2ωx+
π
6
)
答案
(1)由题可知:
2ω•
π
3
+
π
6
=kπ+
π
2
(k∈z)
,故有
ω=
1
2
+
3
2
k
.
又∵0<ω<1,∴
ω=
1
2
.…(3分)
∴
f(x)=1+2sin(x+
π
6
)
,由此可得函数的周期为 T=2π.…(5分)
(2)令
π
2
+2kπ≤x+
π
6
≤
3π
2
+2kπ
,可得
π
3
+2kπ≤x≤
4π
3
+2kπ
,k∈z,…(7分)
设A=[
π
3
+2kπ,
4π
3
+2kπ]
,B=[-π,π],
则A∩B=[−π,−
2π
3
]∪[
π
3
,π]
,…(9分)
故函数f(x)在[-π,π]的单调减区间为
[−π,−
2π
3
]和[
π
3
,π]
.…(10分)
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