定义在R上的奇函数f(x),当x∈(-∞,0)时,f(x)=-x2+mx-1. (1)当x∈(0,+∞)时,求f(x)的解析式; (2)若方程f(x)=0有五个不相等的实数解,求实数m的取值范围.
题目
定义在R上的奇函数f(x),当x∈(-∞,0)时,f(x)=-x2+mx-1.
(1)当x∈(0,+∞)时,求f(x)的解析式;
(2)若方程f(x)=0有五个不相等的实数解,求实数m的取值范围.
答案
(1)设x>0,则-x<0,∴f(-x)=-x
2-mx-1(2分)
又f(x)为奇函数,即f(-x)=-f(x),(3分)
所以,f(x)=x
2+mx+1(x>0),(4分)
又f(0)=0,(6分)
所以
f(x)= | x2+mx+1 x>0 | 0 x=0 | −x2+mx−1 x<0 |
| |
(7分)
(2)因为f(x)为奇函数,所以函数y=f(x)的图象关于原点对称,(8分)
由方程f(x)=0有五个不相等的实数解,得y=f(x)的图象与x轴有五个不同的交点,(9分)
又f(0)=0,所以f(x)=x
2+mx+1(x>0)的图象与x轴正半轴有两个不同的交点,(10分)
即,方程x
2+mx+1=0有两个不等正根,记两根分别为x
1,x
2(11分)
⇒ | △=m2−4>0 | x1+x2=−m>0 | x1•x2=1>0 |
| |
⇒m<−2,(14分)
所以,所求实数m的取值范围是m<-2(15分)
(1)先根据f(x)是定义在R上的奇函数,判断f(0)=0,再根据当x<0时,f(x)=-f(-x)根据x,0时,f(x)=-x2+mx-1得到x>0时函数的解析式,最后综合即可得到答案.
(2)由方程f(x)=0有五个不相等的实数解,得y=f(x)的图象与x轴有五个不同的交点,又f(0)=0,所以f(x)=x2+mx+1(x>0)的图象与x轴正半轴有两个不同的交点即,方程x2+mx+1=0有两个不等正根,记两根分别为x1,x2得出关于m的不等关系,从而求得实数m的取值范围.
函数与方程的综合运用;奇函数.
本小题主要考查函数与方程的综合运用、函数奇偶性的应用、不等式的解法等基础知识,考查运算求解能力,考查数形结合思想、化归与转化思想.属于基础题.
举一反三
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
最新试题
热门考点
- 用英语怎么写
- 用水解法研究下列物质,水解产物不全是葡萄糖的是( ) A.淀粉 B.糖原 C.纤维素 D.乳糖
- 利润同期比计算过程中,如果基期利润额为负数,那么同期比值应为正值还是负值?
- 在比例尺是1:60000000的地图上,量得甲乙两地的航空线长6cm,一架飞机以每小时450千米的速度从甲地飞往乙地,需要几小时?
- 上面一个"功"下面一个"夫",这个字读什么
- 在矩形ABCD中,对角线AC=10,矩形面积为25根号3,求两条对角线的夹角α的度数是多少?求具体解法
- We have l( ) at 11:50 am every day 根据首字母的提示 补全单词
- 国内主要高原的海拔
- 太阳每时每刻都散发能量至地球,那多余的能量是不是从地球散发到宇宙
- 21°3分-19°58分=?