已知在四棱锥E-ABCD中，底面ABCD是矩形，AB：BC=1：2，O、F分别为CD、BC的中点，且EO⊥平面ABCD，求证：AF⊥EF．

题目

已知在四棱锥E-ABCD中，底面ABCD是矩形，AB：BC=1：

2

，O、F分别为CD、BC的中点，且EO⊥平面ABCD，求证：AF⊥EF．

答案

证明：连结AF、OF，
不妨设AB=2，BC=2

2

，则BF=CF=

2

，OC=1，
∵

AB

BF

＝

CF

OC

＝

2

1

，∠ABF=∠OCF=90°，
∴△ABF∽△OCF，
∴∠AFB=∠COF，
∴AF⊥FO
∵EO⊥面ABCD，AF⊂面ABCD，
∴AF⊥EO，
∴AF⊥平面EOF，
∴AF⊥EF．

连结AF、OF，由已知条件得△ABF∽△OCF，从而AF⊥FO，进而AF⊥平面EOF，由此能证明AF⊥EF．

本题考点：直线与平面垂直的性质．

考点点评：本题考查异面直线垂直的证明，是中档题，解题时要注意空间思维能力的培养．