已知f(x)为定义在(-∞,0)∪(0,+∞)上的奇函数,当x<0时,f(x)=x2-x-2,解不等式f(x)>0.
题目
已知f(x)为定义在(-∞,0)∪(0,+∞)上的奇函数,当x<0时,f(x)=x2-x-2,解不等式f(x)>0.
答案
∵函数f(x)是定义在R上的奇函数,
∴对于任意实数x,有f(x)=-f(-x),且f(0)=0,
设x>0,则-x<0,于是f(x)=-f(-x)=-(-x)
2-(-x)-2=-x
2+x-2
∴f(x)=
| x2−x−2 ,x<0 | −3 ,x=0 | −x2+x−2 , x>0 |
| |
①当x<0时,f(x)=x
2-x-2>0,
解得:x>2(不符题意,舍去),x<-1
②当x=0时,f(x)=-3>0不成立,故x≠0
③当x>0时,f(x)=-x
2+x-2>0,
解不等式无解,
综上,解不等式f(x)>0的解集是{x|x<-1}.
首先,借助于函数为奇函数,求解函数的解析式,然后,分别在x>0,x=0,x<0三种情形进行讨论求解不等式即可.
函数奇偶性的性质.
本题重点考查了奇函数的概念,奇函数的性质,分段函数的概念等知识,考查比较综合,属于中档题.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
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