已知函数f(x)=x^2 -alnx在(1,2]上增函数,g(x)=x-ax^(1/2)在（0,1）上为减函数.

题目

已知函数f(x)=x^2 -alnx在(1,2]上增函数,g(x)=x-ax^(1/2)在（0,1）上为减函数.
（1.）求f(x)、g(x)的解析式 （2.）求证,当x＞0.方程f(x)=g(x)+2有唯一解

答案

(1)由题可得 f'(x)=2x-ax^(1/2) ≥0 在（1,2]上恒成立,即2x^2-a ≥0在（1,2】上恒成立,∴2-a≥0
∴a ≥2 g'(x)=1-(a/2)x^(-1/2)≤0 在（0≤0,1）上恒成立,即2x^(1/2)-a≤0在（0,1）上恒成立,
,∴2-a≤0,a≤2 ∴a=2 f(x)=x^2-2lnx g(x)=x-2x^(1/2)
（2.）f(x)=g(x)+2 即x^2-2lnx=x-2x^(1/2)+2 令h(x)=x^2-2lnx-x+2x^(1/2)-2
h'(x)=(2x^2-x+x^(1/2)-2)/x x=1时,h'(x)=0 ,0＜x＜1时,h'(x)＜0,此时h(x）递减
x＞1时,h'(x)＞0,此时h(x）递增 ∴h(x）min =h(1)=0 ∴h(x)=0时有唯一解x=1
即当x＞0.方程f(x)=g(x)+2有唯一解