求下列曲线所围成的图形的面积

求下列曲线所围成的图形的面积

题目
求下列曲线所围成的图形的面积
x=a*cos^3(t)
y=a*sin^3(t)
答案
该曲线为星形线,图形关于两坐标轴对称,因此下面只求第一象限,然后4倍就行了
S=4∫ [0-->a]ydx 将参数方程代入
=4∫ [π/2-->0]a*sin^3(t)*a*3cos^2(t)*(-sint)dt 整理并将上下限交换
=12a^2∫ [0-->π/2]sin^4(t)cos^2(t)dt
为了计算简便,下面用到一个结论
∫ [0-->π/2] f(sinx)dx=∫ [0-->π/2] f(cosx)dx (定积分的换元法部分的一道例题)
因此∫ [0-->π/2] f(sinx)dx=1/2[∫ [0-->π/2] f(sinx)dx+∫ [0-->π/2] f(cosx)dx]
则原式=12a^2∫ [0-->π/2]sin^4(t)cos^2(t)dt
=6a^2{∫ [0-->π/2]sin^4(t)cos^2(t)dt+∫ [0-->π/2]sin^2(t)cos^4(t)dt}
=6a^2∫ [0-->π/2]sin^2(t)cos^2(t)[sin^2(t)+cos^2(t)]dt
=6a^2∫ [0-->π/2]sin^2(t)cos^2(t)dt
=3/2*a^2∫ [0-->π/2]sin^2(2t)dt
=3/4*a^2∫ [0-->π/2] (1-cos4t)dt
=3/4*a^2[t-1/4sin4t] [0-->π/2]
=3a^2π/8
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
奥巴马演讲不用看稿子.为什么中国领导演讲要看?
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