设斜率为1的直线L经过抛物线y^2=4x的焦点,与抛物线相交于A（x1,y1）;B(x2,y2)两点,则向量OA×向量OB=

题目

设斜率为1的直线L经过抛物线y^2=4x的焦点,与抛物线相交于A（x1,y1）;B(x2,y2)两点,则向量OA×向量OB=

答案

焦点为(1,0),可以设直线为y=x－1.联立方程组：y^2=4x和y=x－1,得到一个关于x的一元二次方程：x2－6x＋1=0.可以得到x1+x2=6,x1×x2=1.OA×向量OB=x1×x2+y1×y2.而y1=x1－1,y2=x2－1.“y1×y2”可以用x1+x2和x1×x2来表示,OA×向量OB=x1×x2+y1×y2=(x1×x2)－(x1+x2)+1=－3.