试求一个三次多项式f(x),使它满足f(-1)=f(-2)=f(-3)=0,且f(1)=24求解析式,

题目

试求一个三次多项式f(x),使它满足f(-1)=f(-2)=f(-3)=0,且f(1)=24求解析式,

答案

试求一个三次多项式f(x),使它满足f(-1)=f(-2)=f(-3)=0,且f(1)=24求解析式,要过程
设此三次多项式为：f(x)=ax³+bx²+cx+d；那么有等式：
f(-1)=-a+b-c+d=0.(1)
f(-2)=-8a+4b-2c+d=0.(2)
f(-3)=-27a+9b-3c+d=0.(3)
f(1)=a+b+c+d=24.(4)
(1)+(4)得2(b+d)=24,故b+d=12.(5)
将(5)代入(4)式即得a+c=12.(6)
由(5)得b=12-d.(7)
由(6)得a=12-c.(8)
将(7)和(8)代入(2)和(3)得：
-8(12-c)+4(12-d)-2c+d=6c-3d-48=0,即有2c-d=16.(9)
-27(12-c)+9(12-d)-3c+d=24c-8d-216=0,即有3c-d=27.(10)
(10)-(9)得c=11；d=2c-16=22-16=6；b=12-d=12-6=6；a=12-c=12-11=1；
故a=1；b=6；c=11；d=6.
故此多项式为f(x)=x³+6x²+11x+6.