满足方程x2+y2=2（x+y）+xy的所有正整数解有（　　） A.一组 B.二组 C.三组 D.四组

题目

满足方程x²+y²=2（x+y）+xy的所有正整数解有（　　）
A. 一组
B. 二组
C. 三组
D. 四组

答案

原方程整理得：x²-（y+2）x+（y²-2y）=0
△=（y+2）²-4（y²-2y）≥0
∴

6-4 3

3

≤y≤

6+4 3

3

因为y是正整数，有1≤y≤4，从而，y=1，2，3，4
当y=1时，则x²-3x+1=0．无正整数解；
当y=2时，x²-4x=0，有整数解；
当y=3时，则x²-5x+3=0．无正整数解；
当y=4时，则x²-6x+8=0．有正整数解为2，4．
故原方程的解为：

x=4 y=2

或

x=2 y=4

或

x=4 y=4

故选：C．

运用一元二次方程的判别式，确定y的取值范围，从而确定一元二次方程解的情况．

本题考点：一元二次方程的整数根与有理根；根的判别式．

考点点评：此题主要考查了一元二次方程根的判别式，以及方程解的情况，难度不大．