已知：如图,在平行四边形ABCD中,G、H分别是AD、BC的中点,AE⊥BD,CF⊥BD,垂足为E、F.

题目

已知：如图,在平行四边形ABCD中,G、H分别是AD、BC的中点,AE⊥BD,CF⊥BD,垂足为E、F.
求证：四边形GEHF是平行四边形

答案

证明1,
∵ABCD是平行四边形
∴AD∥BC,AD=BC（平行四边形的对边平行且相等）
∴∠ADB=∠CBD（内错角相等）
∵AE⊥BD,CF⊥BD（已知）
∴∠AED=∠CFB=90度
∴∠DAE=∠BCF（两直角三角形的一个锐角相等,则另一个锐角也相等）
∵G、H分别是AD、BC中点（已知）
∴EG=AG=(1/2)AD,FH=CH=(1/2)BC（直角三角形斜边中点到三顶点距离相等）
∴EG=FH
∴∠GEA=∠GAE,∠HEF=∠HCF（三角形中,等边对应的角也相等）
∴∠GED=∠HFB（等量减去等量,差相等）
∴EG∥FH（内错角相等,两条直线平行）
证明2
∵ABCD为平行四边形（已知）
∴⊿ABD旋转180度后,与⊿CDB重合（平行四边形性质）
∵AE⊥BD,CF⊥BD,且G、H分别是AD、BC的中点（已知）
∴EG、FE是两⊿ABD、⊿CDB中的两条对应的线段
∴EG∥FH,EG=FH（线段旋转180度后,与原线段平行且长度相等）