设二次函数f(x)满足f(2+x)=f(2-x),对于x属于R恒成立,且f(x)=0的两个实根的平方和为10,f(x)的图象过点

题目

设二次函数f(x)满足f(2+x)=f(2-x),对于x属于R恒成立,且f(x)=0的两个实根的平方和为10,f(x)的图象过点
（0,3）,求f(x)的解析式.

答案

f(x)的图象过点(0,3)
故设f(x)=ax^2+bx+3
f(2+x)=f(2-x),对于x属于R恒成立
即f(2+2)=f(2-2),即f(4)=f(0)
即16a+4b+3=3,得4a+b=0.(1)
x1+x2=-b/a,x1x2=3/a
x1^2+x2^2=(x1+x2)^2-2x1x2=b^2/a^2-6/a=10
即b^2-6a=10a^2
b=-4a代入得16a^2-6a=10a^2
a^2-a=0
a不=0,则a=1
b=-4
所以,f(x)=x^2-4x+3