设A是n阶实对称矩阵且满足A^2=A,设A的秩为r,求行列式det(2E-A),其中E是n阶单位矩阵

题目

设A是n阶实对称矩阵且满足A^2=A,设A的秩为r,求行列式det(2E-A),其中E是n阶单位矩阵

答案

因为 A^2=A,所以 A(A-E)=0
所以 A 的特征值只能是 0,1
又因为A是n阶实对称矩阵,r(A) = r
所以 A 的特征值有r个1,n-r个0
所以 2E-A 的特征值有r个1,n-r个2
所以 |2E-A| = 2^(n-r)