二次型惯性指数问题

题目

二次型惯性指数问题
f(x1,x2,x3)=x2^2+2x1*x3,求负惯性指数
我一开始是直接化成x2^2+(x1+x3)^2-x1^2-x3^2这样的,然后就设x1=y1,x2=y2,x3=y3,x1+x3=y4,但是这样算我也知道是不对的.
答案是先令x1=y1+y2,x2=y2,x3=y1-y3,代入得f=2y1^2+y2^2-2y3^2,
可是这种做法不是是在没有平方项的时候才这么设的吗?
一般的做法不是先配方法消去交叉项的吗?那我那样做又是错在哪里,怎么样在做之前就知道不能用我刚开始的方法?
难道要先我自己的那种做法做出来发现不对然后再用答案的方法?
还有诶,配方法化为标准型的原则是什么勒?

答案

f(x1,x2,x3)=x2^2+2x1*x3 有3个变元, 你化成4个变元的, 当然不对.再观察一下, f 有2个项: x2^2, 2x1*x3 . 后一项不含 x2, 所以x2可独立一项, 取 y2=x2.所以只需处理 g(x1,x3) = 2x1x3 即可.所以令 x1=y1+y3 (你...