设f(x)=(1/(1+x^2))+x^3∫(0到1)f(x)dx,求∫(0到1)f(x)dx

题目

设f(x)=(1/(1+x^2))+x^3∫(0到1)f(x)dx,求∫(0到1)f(x)dx

答案

设∫(0到1)f(x)dx=a
两边取(0,1)积分,得
a=∫(0,1)1/(1+x^2)dx+a∫(0,1)x^3dx
a=arctanx|(0,1)+a/4
3a/4=π/4
a=π/3
所以
∫(0到1)f(x)dx=π/3