数学中的和差化积公式的推导过程

题目

数学中的和差化积公式的推导过程

答案

正弦、余弦的和差化积
sin α+sinβ=2sin[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2]
sin α-sin β=2cos[(α+β)/2]·sin[(α-β)/2]
cos α+cos β=2cos[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2]
cos α-cos β=-2sin[(α+β)/2]·sin[(α-β)/2]
　　法1　sin α+sin β=2sin[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2]的证明过程
　　因为
　　sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β,
　　sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β,
　　将以上两式的左右两边分别相加,得
　　sin(α+β)+sin(α-β)=2sin αcos β,
　　设 α+β=θ,α-β=φ
　　那么
　　α=(θ+φ)/2,β=(θ-φ)/2
　　把α,β的值代入,即得
　　sin θ+sin φ=2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ）/2]
　　法2
　　根据欧拉公式,e ^Ix=cosx+isinx
　　令x=a+b
　　得e ^I（a+b）=e^ia*e^ib=(cosa+isina)(cosb+isinb)=cosacosb-sinasinb+i(sinacosb+sinbcosa)=cos（a+b）+isin（a+b）
　　所以cos(a+b)=cosacosb-sinasinb
　　sin(a+b)=sinacosb+sinbcosa
口诀
　　正加正,正在前,余加余,余并肩
　　正减正,余在前,余减余,负正弦
　　反之亦然
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正切的和差化积
tanα±tanβ=sin(α±β)/(cosα·cosβ)（附证明）
cotα±cotβ=±sin(β±α)/(sinα·sinβ)
tanα+cotβ=cos(α-β)/(cosα·sinβ)
tanα-cotβ=-cos(α+β)/(cosα·sinβ)
证明：左边=tanα±tanβ=sinα/cosα±sinβ/cosβ
　　=(sinα·cosβ±cosα·sinβ)/(cosα·cosβ)
　　=sin(α±β)/(cosα·cosβ)=右边
　　∴等式成立