点E,F分别在正方形ABCD上的边CB和DC的延长线上,且CE=DF,连接AE,EF,若点M,N,P,Q分别为AE,EF,FD,AD的中点.

题目

点E,F分别在正方形ABCD上的边CB和DC的延长线上,且CE=DF,连接AE,EF,若点M,N,P,Q分别为AE,EF,FD,AD的中点.
请判断四边形MNPQ是"矩形,菱形,正方形,等腰梯形"中的哪种?

答案

正方形.证明如下：
连接ED,AF.
△ADE中,M,Q分别是AE和AD的中点,MQ是中位线,MQ//ED 且MQ＝1/2ED
同样,△FDE中,PN是中位线,PN//ED且PN=1/2DE
所以 MQ//PN,且MQ=PN=1/2ED
同样MN//PQ,且MN＝PQ=1/2AF
易证△ADF全等于△DCE.所以 AF＝DE
所以MN＝NC＝PQ＝MQ=1/2AF
角DQC＝角DAF,角AQM＝角ADE.
因△ADF全等于△DCE,所以角DAF＝角CDE,
所以角AQM＋角DQC＝角ADE＋角DAF＝角ADE＋角CDE＝90度
所以角MQC＝190－(角AQM＋角DQC）＝180－90＝90度
所以MNPQ的两条对边相互平行,四条边都相等,角MQC＝90度
所以MNPQ是正方形.