设向量a=(1,cos2Θ),b=(2,1),c=(4sinΘ,1),d=(1/2sinΘ,1),其中Θ∈(0,π/4)

题目

设向量a=(1,cos2Θ),b=(2,1),c=(4sinΘ,1),d=(1/2sinΘ,1),其中Θ∈(0,π/4)
设向量a=(1,cos2Θ),b=(2,1),c=(4sinΘ,1),d=(1/2 sinΘ,1),其中Θ∈(0,π/4).
1.求a*b-c*d的取值范围.
2.若函数f(x)=｜x-1｜,判断f(a*b)-f(c*d)是正数还是负数,并说明理由.
a.b.c.d都是向量.
* 是乘号.

答案

解
1,a*b-c*d=2+cos2Θ-(2sinΘsinΘ+1)
=2+cos2Θ+cos2Θ-2 (cos2Θ=1-2sinΘsinΘ)
=2cos2Θ
Θ∈(0,π/4)
所以a*b-c*d∈(0,2)
2,
a*b=2+cos2Θ,c*d=2-cos2Θ
显然a*b,c*d都是大于等于1的
所以
f(a*b)-f(c*d)=|a*b-1|-|c*d-1|=|2+cos2Θ-1| - |2-cos2Θ-1|
=1+cos2Θ-(1-cos2Θ)
=2cos2Θ
Θ∈(0,π/4)
所以f(a*b)-f(c*d) =2cos2Θ∈(0,2)
所以f(a*b)-f(c*d)是正数