已知定义在R上的f(x),对任意X,Y∈R都有f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y),f(0)≠0,求证：

题目

已知定义在R上的f(x),对任意X,Y∈R都有f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y),f(0)≠0,求证：
（1）f（0）=1
(2)f(x)是偶函数

答案

令x=y=0
2f(0)=2f(0)^2
2f(0)[f(0)-1]=0
因为f(0)≠0,则f(0)=1
令x=0,y=x
f(x)+f(-x)=2f(0)f(x),运用f(0)=1
所以f(x)=f(-x)对于任意x都成立,所以f(x)是偶函数