已知三角形的三边a、b、c满足a+b+c=3、a^2+b^2+c^2=3,判断这个三角形的形状,说明理由

题目

已知三角形的三边a、b、c满足a+b+c=3、a^2+b^2+c^2=3,判断这个三角形的形状,说明理由

答案

(a+b+c)²=3²
a²+b²+c²+2(ab+bc+ca)=9
a²+b²+c²=3
所以ab+bc+ca=3
所以a²+b²+c²=ab+bc+ca
a²+b²+c²-ab-bc-ac=0
两边乘2
2a²+2b²+2c²-2ab-2bc-2ac=0
(a²-2ab+b²)+(b²-2bc+c²)+(c²-2ac+a²)=0
(a-b)²+(b-c)²+(c-a)²=0
平方大于等于0,相加等于0,若有一个大于0,则至少有一个小于0,不成立
所以三个都等于0
所以a-b=0,b-c=0,c-a=0
a=b,b=c,c=a
所以a=b=c
所以时等边三角形