设函数f(x)的定义域为R,对于任意实数m,n,恒有f(m+n)=f(m)*f(n),且当x>0时,0

题目

设函数f(x)的定义域为R,对于任意实数m,n,恒有f(m+n)=f(m)*f(n),且当x>0时,0(1)求证f(0)=1,且当x<0时,f(x)>1
(2)求证f(x)在R上单调递减
(3)若F(1)=1/2,试解不等式F(a^x)/F(4-a^2x) >1/4

答案

（1）、令m=0,n=1,代入等式得f(0+1)=f(0)*f(1),即f(1)=f(0)*f(1),
由已知可得f(1)>0,所以上式两边同除以f(1)可得：f(0)=1
当y0,所以00,
对任意x>y,有x-y>0,f(x)>0,f(y)>0,
又f(x)/ f(y)= f(x)* f(-y)= f(x-y)
所以0< f(x)/ f(y) 0,
所以f(x) < f(y),
所以f(x)在R上单调递减.
（3）F(a^x)/F(4-a^2x) = F(a^x)*F(a^2x -4)= F(a^x+a^2x -4)
又f(2)=f(1+1)=f(1)*f(1)= 1/2*1/2=1/4,
所以F(a^x)/F(4-a^2x) >1/4可变形为F(a^x+a^2x -4) > f(2)
因为f(x)在R上单调递减,所以a^x+a^2x -4