已知α，β均为锐角，且sinα＝3/5，tan(α−β)＝−1/3．（1）求sin（α-β）的值； （2）求cosβ的值．

题目

已知α，β均为锐角，且sinα＝

3

5

，tan(α−β)＝−

1

3

．
（1）求sin（α-β）的值；     
（2）求cosβ的值．

答案

（1）∵α，β∈(0，

π

2

)，从而-

π

2

<α-β<

π

2

．
又∵tan(α-β)=-

1

3

<0，∴-

π

2

<α-β<0．         …（4分）
利用同角三角函数的基本关系可得sin²（α-β）+cos²（α-β）=1，且

sin(α-β)

cos(α-β)

=-

1

3

，
解得  sin(α-β)=-

10

10

．   …（6分）
（2）由（1）可得，cos(α-β)=

3 10

10

．∵α为锐角，sinα=

3

5

，∴cosα=

4

5

．      …（10分）
∴cosβ=cos[α-（α-β）]=cosαcos（α-β）+sinαsin（α-β）…（12分）
=

4

5

×

3 10

10

+

3

5

×(-

10

10

)=

9 10

50

．      …（14分）

（1）根据α、β的范围，利用同角三角函数的基本关系，求得sin（α-β）的值．
（2）由（1）可得，cos(α−β)＝

3 10

10

，cosα＝

4

5

，根据cosβ=cos[α-（α-β）]，利用两角差的余弦公式求得结果．

本题考点：两角和与差的正切函数；同角三角函数间的基本关系；两角和与差的正弦函数．

考点点评：本题主要考查同角三角函数的基本关系，两角和差的余弦公式的应用，属于中档题．