求具体说明为什么概率密度f（x）为什么要是非负可积函数.什么是非负函数?指的是定义域值域还是什么?

题目

求具体说明为什么概率密度f（x）为什么要是非负可积函数.什么是非负函数?指的是定义域值域还是什么?

答案

概率密度函数是针对连续性随机变量而言的,假设对于连续性随机变量X,其分布函数为F(x),概率密度为f(x)
因为F(x)=P(X≤x),所以可知F(x)≥0,同时分布函数还具有单调上升性,有界性以及右连续性.
又F(x)=∫[-∞,x] f(y)dy,要使其恒≥0,只需要求被积函数要是非负函数才行.
此外,因为连续性随机变量的定义式分布函数是连续的,也就是要求F(x)连续,
同时F(x)=∫[-∞,x] f(y)dy是个积分上限函数,根据积分上限函数的性质
1.被积函数可积,则积分上限函数连续
2.被积函数连续,则积分上限函数可导
可以知道,此时只需要求被积函数可积就能使F(x)连续了.
综上,要求概率密度函数f(x)非负可积.
此外,非负函数指的是函数的值域是非负的,也就是对于任意的定义域中的x,要求f(x)≥0.