在三角形ABC中,E,F分别是AB,AC上的点.①AD平分角BAC；②DE垂直于AB,③DF垂直于AC；AD垂直于EF.以此三个中的两个为条件,另一个为理论,可构成三个命题,即：①②->③,①③->②

题目

在三角形ABC中,E,F分别是AB,AC上的点.①AD平分角BAC；②DE垂直于AB,③DF垂直于AC；AD垂直于EF.以此三个中的两个为条件,另一个为理论,可构成三个命题,即：①②->③,①③->②,②③->①.
(1)试判断上述三个命题是否正确(直接做答);
(2)请证明你认为正确的命题.
越快越好,不要网上拉的
两天之内

答案

(1) ①②->③命题 不成立,①③->②命题成立,②③->①命题成立.
(2) ①③->②命题证明如下：
AD与EF的交点为O.
∵AD平分角BAC且AD垂直于EF
∴AD垂直平分EF
∵DE=DF （垂直平分线上一点到两端点的距离相等）
∴∠DEF=∠DFE
∵△ADF与△AEO相似
∴∠AEF=∠ADF
∵∠ADF+∠DFE=90°
∴∠AEF+∠DEF=90°
即：DE垂直于AB
②③->①命题证明如下：
∵DE垂直于AB ∠AED=90°
∴A,D,E三点在以AD为直径的圆上.
∵DF垂直于AC ∠AFD=90°
∴A,D,F三点在以AD为直径的圆上.
即：A,D,E,F四点共圆.
∵△ADF与△FDO相似
∴∠CAD=∠DFE （相似三角形对应角相等）
∵∠BAD=∠DFE （同弧对等角）
∴∠CAD=∠BAD
即： AD平分角BAC
证毕.
①②->③命题不成立说明如下：
①AD平分角BAC, 对F点在AC上的位置没有约束；
②DE垂直于AB, 对F点在AC上的位置也没有约束.
所以①②->③命题不成立.