已知f(x)=-x³-x+1,(x属于R),证明y=f(x)是定义域上的减函数,且满足等式f(x)=0的实数值x至多只有一个

题目

已知f(x)=-x³-x+1,(x属于R),证明y=f(x)是定义域上的减函数,且满足等式f(x)=0的实数值x至多只有一个

答案

设,x1>x2 ,x1x2∈(-1,1)
f(x1)-f(x2)=(x1^3+x1+1)-(x2^3+x2+1)=( x1^3-x2^3)+( x1-x2)
因为x1>x2 ,所以( x1^3-x2^3)>0,( x1-x2) >0
所以f(x1)-f(x2) >0
所以f(x)在(-1,1)内为单调递增函数.
且f(-1)=-1,f(1)=3
所以,存在唯一的x0,x0 ∈(-1,1),且f(x0)=0
因为f(x)在(-1,1)内为单调递增函数,所以,f(x)的函数图象在直角坐标系中有且仅有可能和x轴相交一次,所以满足等式f(x)=0的实数值x至多只有一个.