已知3a^2+2b^2=5,则y=根号(2a^2+1)根号(b^2+2)的最大值

题目

已知3a^2+2b^2=5,则y=根号(2a^2+1)根号(b^2+2)的最大值

答案

3a²+2b²=5
(3/2)(2a²+1)+2(b²+2)=21/2
(3/2)(2a²+1)恒>0,2(b²+2)恒>0
由均值不等式得(3/2)(2a²+1)+2(b²+2)≥2√[(3/2)(2a²+1)2(b²+2)]=(2√3)√(2a²+1)√(b²+2)
取等号时,(3/2)(2a²+1)=2(b²+2)
3(2a²+1)=4(b²+2)
6a²-4b²=5
4a²+2b²=6a²-4b²
a²=3b²
(3/2)(2a²+1)+2(b²+2)=21/2
(2√3)√(2a²+1)√(b²+2)≤21/2
√(2a²+1)√(b²+2)≤7√3/4
y≤7√3/4,y的最大值为7√3/4.