已知函数f(x)=lnx.(1)若直线y=x+m与函数f(x)的图像相切,求实数m的值;(2)证明曲线y=f(x)与曲线y=x-1/x有唯一的公共点;

题目

已知函数f(x)=lnx.(1)若直线y=x+m与函数f(x)的图像相切,求实数m的值;(2)证明曲线y=f(x)与曲线y=x-1/x有唯一的公共点;

答案

1）函数求导,f ’(x)=1/x,直线y=x+m的斜率=1,则1/x=1,x=1,f(1)=ln(1)=0,函数在点(1,0)处的切线方程为y=x-1,与y=x+m相同,则m=-1(2)构造一个新函数y=x-1/x-lnx,求导,y’=1+1/x^2-1/x=(x^2-x+1)/x^2=[(x-1/2)^2+3/4]/x^2>0,即在x>0时,函数的导数总是>0的,则函数在定义域内单调递增,只有一个0值点(1,0),所以,曲线y=f(x)与曲线y=x-1/x有唯一的公共点(1,0)