如图,已知△ABC中,AB=AC,D是BC的中点,求证:D到AB、AC的距离相等.

如图,已知△ABC中,AB=AC,D是BC的中点,求证:D到AB、AC的距离相等.

题目
如图,已知△ABC中,AB=AC,D是BC的中点,求证:D到AB、AC的距离相等.
答案
证明:连接AD,过D作DE⊥AB于E,DF⊥AC于F,
∵D为BC的中点,
∴BD=CD,
∵在△ABD和△ACD中
AB=AC
AD=AD
BD=DC

∴△ABD≌△ACD(SSS).
∴∠BAD=∠CAD,
∵DE⊥AB,DF⊥AC,
∴DE=DF,
即D到AB、AC的距离相等.
连接AD,过D作DE⊥AB于E,DF⊥AC于F,证明△ABD≌△ACD即可证明∠BAD=∠CAD,即AD是角A的平分线,利用角的平分线上的点到角的两边的距离相等可知D到AB、AC的距离相等.

角平分线的性质.

本题主要考查角平分线的性质和三角形全等的判定及性质;作出辅助线是解答本题的关键.

举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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