已知△ABC，分别以AB、AC为边作△ABD和△ACE，且AD=AB，AC=AE，∠DAB=∠CAE，连接DC与BE，G、F分别是DC与BE的中点． （1）如图1，若∠DAB=60°，则∠AFG=_；

题目

已知△ABC，分别以AB、AC为边作△ABD和△ACE，且AD=AB，AC=AE，∠DAB=∠CAE，连接DC与BE，G、F分别是DC与BE的中点．

（1）如图1，若∠DAB=60°，则∠AFG=______；
（2）如图2，若∠DAB=90°，则∠AFG=______；
（3）如图3，若∠DAB=α，试探究∠AFG与α的数量关系，并给予证明．

答案

（1）连接AG．

∵∠DAB=∠CAE，
∴∠DAB+∠BAC=∠CAE+∠BAC，
∴∠DAC=∠BAE．
在△ADC和△ABE中，

AD＝AB ∠DAC＝∠BAE AC＝AE

，
∴△ADC≌△ABE（SAS），
∴DC=BE，∠ADC=∠ABE．AD=AB．
∵G、F分别是DC与BE的中点，
∴DG=

1

2

DC，BF=

1

2

BE，
∴DG=BF．
在△ADG和△ABF中，

AD＝AB ∠ADC＝∠ABE DG＝BF

，
∴△ADG≌△ABF（SAS），
∴AG=AF，∠DAG=∠BAF，
∴∠AGF=∠AFG，∠DAG-∠BAG=∠BAF-∠BAG，
∴∠DAB=∠GAF．
∵∠DAB=60°，
∴∠GAF=60°．
∵∠GAF+∠AFG+∠AGF=180°，
∴∠AFG=60°；
（2）∵∠DAB=90°，∠DAB=∠GAF，（已证）
∴∠GAF=90°，
∵AG=AF，
∴∠AFG=

1

2

（180°-90°）=45°；
（3）∵∠DAB=α，∠DAB=∠GAF，（已证）
∴∠GAF=α，
∵AG=AF，
∴∠AFG=

1

2

（180°-α）；
故答案为 60°，45°，

1

2

（180°-α）．

（1）连接AG．易证△ADC≌△ABE，可得DC=BE，∠ADC=∠ABE，AD=AB，根据G、F分别是DC与BE的中点，可得DG=BF，即可证明△ADG≌△ABF，可得AG=AF，∠DAG=∠BAF，即可求得∠DAB=∠GAF，即可解题．
（2）根据（1）中结论即可求得∠AFG的值，即可解题；
（3）根据（1）中结论即可求得∠AFG的值，即可解题．

本题考点：全等三角形的判定与性质．

考点点评：本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，本题中求证△ADC≌△ABE和△ADG≌△ABF是解题的关键．