如图，在四棱锥P-ABCD中，AB∥DC，DC=2AB，AP=AD，PB⊥AC，BD⊥AC，E为PD的中点．求证： （1）AE∥平面PBC； （2）PD⊥平面ACE．

题目

如图，在四棱锥P-ABCD中，AB∥DC，DC=2AB，AP=AD，PB⊥AC，BD⊥AC，E为PD的中点．求证：

（1）AE∥平面PBC；
（2）PD⊥平面ACE．

答案

证明：（1）取PC中点F，连接EF，BF，
∵E为PD中点，
∴EF∥DC且EF=

1

2

DC．
∵AB∥DC且AB＝

1

2

DC，
∴EF∥AB且EF=AB．
∴四边形ABFE为平行四边形．
∴AE∥BF．
∵AE⊄平面PBC，BF⊂平面PBC，
∴AE∥平面PBC．
（2）∵PB⊥AC，BD⊥AC，PB∩BD=B，
∴AC⊥平面PBD．
∵PD⊂平面PBD，
∴AC⊥PD．
∵AP=AD，E为PD的中点，
∴PD⊥AE．
∵AE∩AC=A，
∴PD⊥平面ACE．