为什么矩阵不同的特征值对应的特征向量是相互正交的呢?
题目
为什么矩阵不同的特征值对应的特征向量是相互正交的呢?
答案
命题应该是实对称矩阵不同的特征值对应的特征向量是相互正交的.证明如下:
设λ1,λ2是两个A的不同特征值,α1,α2分别是其对应的特征向量,有
A * α1 = λ1 * α1,A * α2 = λ2 *α2
分别取转置,并分别两边右乘α2和α1,得
α1' * A' * α2 =λ2 * α1' * α2,α2' * A' * α1 =λ1 * α2' * α1
对应相减并注意到α2' * A' * α1=(α2' * A' * α1)'= α1' * A' * α2
所以 (λ1 - λ2) α1' * α2 = α1' * A' * α2 - α2' * A' * α1 = α1' * A' * α2 - α1' * A' * α2 =0
而 λ1 - λ2≠ 0,因此 α1' * α2 = 0
即 α1与α2 正交.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
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