⊿ABC为等腰直角三角形,∠C=90度,D为BC延长线上的一点,CD=CE,E点在AC上,BE的延长线交AD于F.求证BF垂直于AD

题目

⊿ABC为等腰直角三角形,∠C=90度,D为BC延长线上的一点,CD=CE,E点在AC上,BE的延长线交AD于F.求证BF垂直于AD

答案

连接DE并延长,与AB相交于G.
由于⊿ABC为等腰直角三角形,∠C=90度
所以∠CAB=45度.
又因为⊿ABC为等腰直角三角形,所以∠ACD=90度,加上CD=CE,所以∠CDE=45度.
所以∠CAB=∠CDE
又因为对顶角∠AEG与∠DEC相等,
所以⊿AEG与⊿DEC相似.
∠AGE=∠DCE=90度
DG垂直于AB,即DE垂直于AB
又因为AC垂直于DB,即AE垂直于DB
所以E为⊿ ADB的垂心,
所以BE垂直于AD
即BF垂直于AD