在△ABC中，AB•AC＝1，AB•BC＝−3．（1）求AB边的长度；（2）求sin(A−B)sinC的值．

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在△ABC中，AB•AC＝1，AB•BC＝−3．（1）求AB边的长度；（2）求sin(A−B)sinC的值．

题目
在△ABC中，
AB
•
AC
＝1，
AB
•
BC
＝−3．
（1）求AB边的长度；
（2）求
sin(A−B)
sinC
的值．
答案
（1）∵
AB
•
AC
=
AB
•(
AB
+
BC
)
=
AB
•
AB
+
AB
•
BC
=
AB
2-3=1．
∴|
AB
|=2．即AB边的长度为2．（5分）
（2）由已知及（1）有：2bcosA=1，2acos（π-B）=-3，
∴acosB=3bcosA（8分）
由正弦定理得：sinAcosB=3sinBcosA（10分）
∴
sin(A-B)
sinC
=
sin(A-B)
sin(A+B)
=
sinAcosB-cosAsinB
sinAcosB+cosAsinB
=
1
2
（12分）
（1）直接根据
AB
•
AC
＝
AB
•(
AB
+
BC
)，再结合
AB
•
AC
＝1，
AB
•
BC
＝−3即可求出求AB边的长度；
（2）结合已知及（1）可得：2bcosA=1，2acos（π-B）=-3；再利用正弦定理把所有的边都用角表示出来得到sinAcosB=3sinBcosA，再代入所求即可得到结论．

两角和与差的正弦函数；平面向量的综合题．

本题是对向量的数量积以及两角和与差的正弦函数的综合考查．在解决问题的过程中，用到了解三角形常用的方法之一：边转化为角．

举一反三
已知函数f（x）=x，g（x）=alnx，a∈R．若曲线y=f（x）与曲线y=g（x）相交，且在交点处有相同的切线，求a的值和该切线方程．
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