计算∫∫∫(x^2+y^2)dV,其中V是由曲面z=x^2+y^2与z=1所围成的区域.

题目

计算∫∫∫(x^2+y^2)dV,其中V是由曲面z=x^2+y^2与z=1所围成的区域.
就这样...

答案

用柱坐标来解,
令x=r*cosθ,y=r*sinθ
z=x²+y²=r²≤1,即r的范围是0到1
而θ则是0到2π
所以
原积分=∫(0到1) dz *∫(0到2π) dθ *∫(0到1) r² *rdr
显然∫(0到1) dz=1,∫(0到2π) dθ=2π,
而∫(0到1) r^3 dr=(r^4)/4 [代入上下限1和0] =1/4
故
原积分
=2π/4=π/2