λ是矩阵A的一个特征值,证明 λ²＋λ是矩阵A²＋A的一个特征值

题目

λ是矩阵A的一个特征值,证明 λ²＋λ是矩阵A²＋A的一个特征值

答案

设x是A的属于特征值λ的特征向量
则 Ax=λx
所以 A(Ax) = A^2x = A(λx) = λAx = λ^2x
所以 (A^2+A)x = A^2x+Ax = λ^2x + λx = (λ^2+λ)x
所以 λ^2+λ 是 A^2+A 的特征值