已知椭圆的一个焦点为F,若椭圆上存在点P,满足以椭圆短轴为直径的圆与线段PF相切于线段PF的中点,则该椭圆的离心率为_.

已知椭圆的一个焦点为F,若椭圆上存在点P,满足以椭圆短轴为直径的圆与线段PF相切于线段PF的中点,则该椭圆的离心率为_.

题目
已知椭圆的一个焦点为F,若椭圆上存在点P,满足以椭圆短轴为直径的圆与线段PF相切于线段PF的中点,则该椭圆的离心率为___
答案
如图所示,
设椭圆的左焦点为F′,
∵以椭圆短轴为直径的圆与线段PF相切于线段PF的中点,
∴切点E为PF的中点,OP=OF=OF′,
∴FP⊥F′P.
设|PF|=n,|PF′|=m,
则m+n=2a,m2+n2=4c2b=
m
2

∴n=2a-2b.
∴4b2+(2a-2b)2=4c2,又c2=a2-b2
化为3b=2a.
∴该椭圆的离心率=
1-(
b
a
)2
=
1-
4
9
=
5
3

故答案为:
5
3
如图所示,设椭圆的左焦点为F′,由于以椭圆短轴为直径的圆与线段PF相切于线段PF的中点,切点E为PF的中点,可得OP=OF=OF′,FP⊥F′P.设|PF|=n,|PF′|=m,可得m+n=2a,m2+n2=4c2b=
m
2
.又c2=a2-b2,可得该椭圆的离心率=
1-(
b
a
)2

椭圆的简单性质

本题考查了椭圆的标准方程及其性质、圆的切线的性质、三角形的中位线定理、勾股定理,考查了推理能力与计算能力,属于难题.

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