设对一切实数x,y=x^2-4ax+2a+6的值均为非负数,求函数f(a)=2-a*|a+3|的最值

题目

设对一切实数x,y=x^2-4ax+2a+6的值均为非负数,求函数f(a)=2-a*|a+3|的最值

答案

y=x^2-4ax+2a+6 是开口向上的抛物线
其值始终为非负数,所以最小值 为非负数
y = x^2 - 2 * 2a * x + (2a)^2 - (2a)^2 + 2a + 6
= (x - 2a)^2 - 2(2a^2 -a -3)
最小值为 -2(2a^2 - a -3)
-2 (2a^2 - a -3) ≥ 0
(2a -3)(a + 1) ≤0
-1 ≤ a ≤ 3/2
在此范围内 a + 3 恒大于0
f(a) = 2 - a(a+3)
= -a^2 - 3a + 2
= - [a^2 + 3a -2]
= - [(a + 3/2)^2 - 9/4 - 2]
= 17/4 - (a + 3/2)^2
f(a) 是 以 a = -3/2 为顶点的抛物线.在顶点两侧单调递减.
区间 -1 ≤ a ≤ 3/2 在 a = -3/2 右侧.
最是值为
f(-1) = 2 - (-1)*|-1 + 3| = 4
最小值为
f(3/2) = 2 - (3/2)|3/2 + 3| = -19/4