若不论k为何值，直线y=k（x-1）-k24与抛物线y=ax2+bx+c有且只有一个公共点，求a、b、c的值．

题目

若不论k为何值，直线y=k（x-1）-

k2

4

与抛物线y=ax²+bx+c有且只有一个公共点，求a、b、c的值．

答案

∵直线y=k（x-1）-

k2

4

与抛物线y=ax²+bx+c有且只有一个公共点，
∴方程组：

y＝k(x−1)− k2 4 y＝ax2+bx+c

只有一组解，
∴ax²+（b-k）x+

k2

4

+k+c=0有相等的实数解，
∴△=0，
∴（1-a）k²-2（2a+b）k+b²-4ac=0
∵对于k为任何实数，上式恒成立，
∴

1−a＝0 −2(2a+b)＝0 b2−4ac＝0

，
∴a=1，b=-2，c=1．

由直线y=k（x-1）-

k2

4

与抛物线y=ax²+bx+c有且只有一个公共点，可得ax²+（b-k）x+

k2

4

+k+c=0有相等的实数解，可得判别式△=0，又由不论k为任何实数，直线

k2

4

与抛物线y=ax²+bx+c有且只有一个公共点，即可得方程组

1−a＝0 −2(2a+b)＝0 b2−4ac＝0

，继而求得a，b，c的值．

本题考点：二次函数的性质．

考点点评：此题考查了二次函数的性质、一元二次方程根的情况、判别式的知识以及方程组的解法等知识．此题综合性较强，难度较大，注意把函数交点问题转化成一元二次方程根的问题是解此题的关键．