已知椭圆X^2/9+y^2/5=1过原点O作两条互相垂直的射线OA、OB分别交该椭圆于A、B两点求1/|OA|^2+1/|OB|^2为定

题目

已知椭圆X^2/9+y^2/5=1过原点O作两条互相垂直的射线OA、OB分别交该椭圆于A、B两点求1/|OA|^2+1/|OB|^2为定

答案

先考虑特殊情形,再考虑一般情形
当两射线OA、OB中有一条斜率不存在时,它们的长度分别为a,b；即3、根号5
于是1/|OA|^2+1/|OB|^2=1/9+1/5=14/45.
当斜率都存在时,不妨设直线OA为y=kx,代人方程X^2/9+y^2/5=1,整理,可得
x^2=45/(5+9k^2)
则1/|OA|^2=1/(x^2+y^2)=1/[x^2+(kx)^2]=1/[(1+k^2)x^2]=(5+9k^2)/45(1+k^2)
因为直线OB为y=(-1/k)x,所以只要把上式中的k用-1/k代替就可得到1/|OB|^2的值
即1/|OB|^2]=[5+9(-1/k)^2]/45[1+(-1/k)^2]=]=(5k^2+9)/45(k^2+1)
所以1/|OA|^2+1/|OB|^2=(5+9k^2)/45(1+k^2)+(5k^2+9)/45(k^2+1)=14/45
因此1/|OA|^2+1/|OB|^2为定值14/45.