不等式x+[x-2c]大于1的解集为R,求c的取值范围

题目

不等式x+[x-2c]大于1的解集为R,求c的取值范围
[ ]为绝对值号

答案

三种方法：
思路1函数讨论法
设f(x)=x+｜x-2c｜-1,
∵x+｜x-2c｜＞1的解集为R,
∴对于一切x∈R,恒为f(x)＞0成立.
故f(x)的最小值＞0,
而f(x)=(x≥2c)
(x＜2c)
可知,f(x)的最小值为2c-1.
故2c-1＞0,即c＞12.
思路2基本不等式法
不等式x+｜x-2c｜＞1的解集为R函数y=x+｜x-2c｜在R上的最小值大于1.
而x+｜x-2c｜≥｜x-(x-2c)｜=2c,
∴2c＞1,即c＞12.
思路3解不等式法
x+｜x-2c｜＞1
｜x-2c｜＞1-x
1-x＜x-2c＜x-1或x-2c＞1-x
c＞12或x＞c+12
由于x+｜x-2c｜的解集为R,
∴c＞12.