设函数f（x）=lnx-ax，g（x）=ex-ax，其中a为实数． （1）若f（x）在（2，+∞）上是单调减函数，且g（x）在（2，+∞）上有最小值，求a的取值范围； （2）若g（x）在（0，+∞）上

题目

设函数f（x）=lnx-ax，g（x）=e^x-ax，其中a为实数．
（1）若f（x）在（2，+∞）上是单调减函数，且g（x）在（2，+∞）上有最小值，求a的取值范围；
（2）若g（x）在（0，+∞）上是单调增函数，试求f（x）的零点个数，并证明你的结论．

答案

（1）f（x）在（2，+∞）上是单调减函数，
则当x∈（2，+∞），f′（x）=

1

x

-a≤0恒成立，a≥

1

x

恒成立，
∴a≥(

1

x

)max＝

1

2

．
令g′（x）=e^x-a=0，得x=ln a．
当x＜ln a时，g′（x）＜0；当x＞ln a时，g′（x）＞0．
又g（x）在（2，+∞）上有最小值，
所以ln a＞2，即a＞e²．
综上，有a∈（e²，+∞）．
（2）当x∈（0，+∞），g′（x）=e^x-a≥0恒成立，a≤（e^x）_min，∴a≤1
令f（x）=0，a＝

lnx

x

，设h(x)＝

lnx

x

，h/(x)＝

1−lnx

x2

(x＞0)，
令h′（x）=0，x=e
当x∈（0，e），h′（x）＞0，h（x）在（0，e）上单调递增
当x∈（e，+∞），h′（x）＜0，h（x）在（e，+∞）上单调递减，
∴h(x)的最大值为h(e)＝

1

e

h（x）的大致图象如图所示：

当

1

e

＜a≤1时无零点，0＜a＜

1

e

时，两个零点，a≤0，a＝

1

e

时一个零点．