已知向量OA=(cosα,sinα),OB=(cosβ,sinβ),OC=（cosγ,sinγ）,且O为△ABC的重心,则cos(α-γ)的值为

题目

已知向量OA=(cosα,sinα),OB=(cosβ,sinβ),OC=（cosγ,sinγ）,且O为△ABC的重心,则cos(α-γ)的值为

答案

首先,|OA|=|OB|=|OC|=1,可以证明这是一个等边△,∠A=∠B=∠C=π/3
其次,由O是该△的垂心,可以证明∠COA=π-∠B.
（以上都是一般的平面几何证明）
α-γ=∠COA=π-∠B=π-π/3=2π/3
cos(α-γ)=cos(2π/3)=-1/2