已知sin(α+β)cos(α-β)=1,求sinα+cosβ的值,答案是0或正负根号2,可我觉得不对.

题目

已知sin(α+β)cos(α-β)=1,求sinα+cosβ的值,答案是0或正负根号2,可我觉得不对.

答案

∵sin(α+β)∈[-1,1]
cos(α-β)∈[-1,1]
∴-1≤sin(α+β)cos(α-β)≤1
本题sin(α+β)cos(α-β)=1,
只有2种情况：
sin(α+β）=1且cos(α-β)=1,
或
sin(α+β）=-1且cos(α-β)=-1
若sin(α+β）=1且cos(α-β)=1,
则α+β=2kπ+π/2,k∈Z
α-β=2nπ,n∈Z
∴2α=2kπ+2nπ+π/2
α=(k+n)π+π/4
2β=2kπ-2nπ+π/2
β=(k-n)π+π/4
k+n为偶数时,k-n也是偶数
此时sinα+cosβ=√2
k+n是奇数数,k-n也是奇数
此时sinα+cosβ=-√2
若sin(α+β）=-1且cos(α-β)=-1
则α+β=2kπ+3π/2,k∈Z
α-β=2nπ+π,n∈Z
∴2α=2kπ+2nπ+5π/2
α=(k+n)π+5π/4
2β=2kπ-2nπ+π/2
β=(k-n)π+π/4
k+n为偶数时,k-n也是偶数
此时sinα+cosβ=0
k+n是奇数数,k-n也是奇数
此时sinα+cosβ=0
结果有3个:0,±√2