已知F1,F2是椭圆的两个焦点,过F1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A,B两点,若△ABF2是正三角形,则这个椭圆的离心率是(  ) A.33 B.23 C.22 D.32

已知F1,F2是椭圆的两个焦点,过F1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A,B两点,若△ABF2是正三角形,则这个椭圆的离心率是(  ) A.33 B.23 C.22 D.32

题目
已知F1,F2是椭圆的两个焦点,过F1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A,B两点,若△ABF2是正三角形,则这个椭圆的离心率是(  )
A.
3
3

B.
2
3

C.
2
2

D.
3
2
答案
由题|AF1|=
3
3
|F1F2|
,∴
b2
a
3
3
•2c
a2c2
2
3
3
ac

c2+
2
3
3
ac−a2=0

e2+
2
3
3
e−1=0

解之得:e=
3
3
(负值舍去).
故答案选A.
由△ABF2是正三角形可知|AF1|=
3
3
|F1F2|
,即
b2
a
3
3
•2c
,由此推导出这个椭圆的离心率.

椭圆的应用;椭圆的简单性质.

本题考查椭圆的基本性质及其应用,解题要注意公式的合理选取.

举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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