PA⊥矩形ABCD所在平面,MN分别是ABPC的中点

题目

PA⊥矩形ABCD所在平面,MN分别是ABPC的中点
PA垂直矩形ABCD所在平面。N分别是ABPC中点求证（1）MN//平面PAD。（2）MN垂直CD（3）若角PDA=45°，求证MN⊥面PCD。

答案

取PD中点E,连AE、NE
1.∵N、E为PC、PD中点
∴NE∥CD∥AM,NE=CD/2=AB/2
又M为AB中点
∴NE=AM
∴AMNE是平行四边形
∴AE∥MN
∵AE∈平面PAD
∴MN∥平面PAD
2.∵PA⊥平面ABCD
∴PA⊥CD
∵ABCD是矩形
∴CD⊥AD
∴CD⊥平面PAD
∴CD⊥AE
∵MN∥AE
∴MN⊥CD
3.∵∠PDA=45°
∴△PAD是等腰直角三角形
∵E是PD中点
∴AE⊥PD
又AE⊥CD
∴AE⊥平面PCD
∴MN⊥平面PCD